Números naturais

Os números naturais surgiram com a  necessidade de efetuar uma contagem. O conjuntos dos números naturais é indicado por: \begin{matrix}\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,...\}\end{matrix}.

Usamos o símbolo (*) para indicar a exclusão do elemento 0 (zero) de qualquer conjunto numérico.

\begin{matrix}\mathbb{N^*}=\{1,2,3,4,5,...\}\end{matrix}

Alguns matemáticos não consideram o zero como natural porque, historicamente, surgiu da necessidade de preencher as casas vazias na expressão de um número, isto é, não como número, e sim como algarismo em  um sistema de numeração posicional.

Números racionais

O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica.

Por exemplo, $\begin{matrix}\dfrac{3}{8}\end{matrix}$ é número racional e é o mesmo que 0,375.

$\begin{matrix}\dfrac{1}{9}\end{matrix}$ é número racional e é o mesmo que 0,1111111...

Observe que na divisão continuada do numerador p pelo denominador q, só podem ocorrer q restos diferentes, daí a periodicidade.

$\begin{matrix}\dfrac{2}{7}=0,285714285...\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{4}{13}=0,307692307...\end{matrix}$


Genericamente, podemos escrever que:

$\begin{matrix}\mathbb{Q}=\left\{x|x=\dfrac{p}{q}; p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{Z^*}\right\}\end{matrix}$


Note que todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser expresso na forma $\begin{matrix}\dfrac{p}{1}\left(p\in\mathbb{Z}\right)\end{matrix}$. Logo, $\begin{matrix}\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\end{matrix}$.

Admitem-se também as notações $\begin{matrix}\mathbb{Q_+ , Q_- , Q^* , Q^*_+}\end{matrix} e \begin{matrix}\mathbb{{Q^*}_-}\end{matrix}$ para subconjuntos  de $\begin{matrix}\mathbb{Q}\end{matrix}$.

Números reais

Os números reais são o modelo matemático para expressar as medidas. Formam um conjunto de números que que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou decimal infinita e periódica ou decimal infinita e não periódica. Quando é finita ou infinita e periódica, tem-se um número racional. Caso contrário, tem-se um número irracional.

Indicamos esse conjunto dos números reais pelo símbolo $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$.
Todo número racional é um número real. Portanto, $\begin{matrix}\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\end{matrix}$.

Veja alguns exemplos de números reais que são irracionais:

Raiz quadrada de dois:

$\begin{matrix}\sqrt{2}=1,414213562373...\end{matrix}$


O número Pi:

$\begin{matrix}\pi=3,14159265358979...\end{matrix}$


O número de ouro:

$\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398874989...\end{matrix}$


Admitem-se também para os números reais as notações $\begin{matrix}\mathbb{R^*}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R_+}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R_-}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R^*_+}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\mathbb{R^*_{-}}\end{matrix}$.

Representação das relações entre $\begin{matrix}\mathbb{N}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{Z}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{Q}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$.

Intervalos

Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número $\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\end{matrix}$ a um ponto de uma reta $\begin{matrix}r\end{matrix}$. Assim, se convencionarmos uma origem $\begin{matrix}O\end{matrix}$, associando a ela o zero, adotarmos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta orientada:

Sejam $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e $\begin{matrix}b\end{matrix}$ números reais com $\begin{matrix}a < b\end{matrix}$. Os subconjuntos de $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$ a seguir são chamados intervalos.

Intervalos limitados

Intervalo fechado - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x\leq b\}\end{matrix}$


Intervalo aberto - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a,b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a < x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à esquerda - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à direita - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a< x\leq b\}\end{matrix}$

Intervalos ilimitados

Semi-reta esquerda, fechada, de origem b - Números reais menores do que b ou iguais a b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b]\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x\leq b\}\end{matrix}$


Semi-reta esquerda, aberta, de origem b - Números reais menores do que b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x < b\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, fechada, de origem a - Números reais maiores do que a ou iguais a a.

Intervalo: $\begin{matrix}[a , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x\geq a\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, aberta, de origem a - Números reais maiores do que a.

Intervalo: $\begin{matrix}]a , +\infty [\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x > a \}\end{matrix}$


Reta numérica - Números reais.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$

Conjuntos finitos e conjuntos infinitos

Os conjuntos podem ser classificados conforme a quantidade de elementos distintos que a eles pertencem. Vamos indicar n(A) o número de elementos distintos de um conjunto A qualquer.

Se um conjunto não possuir elementos (n(A)=0), será chamado conjunto vazio.

Notação:

$\begin{matrix}A=\{\hspace{0,1 cm}\}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}A=\emptyset\end{matrix}$

Quando um conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), será denominado conjunto unitário.
De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos.

Conjunto Universo

Chamamos conjunto universo ao conjunto mais amplo ao qual os elementos dos conjuntos que desejamos representar pertençam. Esse conjunto, do qual os conjuntos que desejamos representar são subconjuntos, é simbolizado por U.

Conjunto universo U contém os conjuntos A e B

Conjuntos

Noções elementares

Por intuição, quando falamos de um conjunto, sempre lembramos de um grupo de indivíduos, de objetos ou coisas. Na teoria dos conjuntos a ideia é a mesma.
Um conjunto é constituído por elementos, neste caso, os números.

Notação:

A, B, C, ... indicam o conjunto
a, b, c, ... indicam os elementos

E quanto à ideia de constituir um conjunto, sempre associamos o conceito de pertencer, isto é, o elemento pode pertencer ao conjunto ou não.

Notação:


$\begin{matrix}\in\end{matrix}$ pertence

$\begin{matrix}\notin\end{matrix}$ não pertence

Representação de conjuntos

Um conjunto pode ser representado de três maneiras distintas.
Para exemplo, consideraremos o conjunto D dos divisores positivos de 30.

1. Pela enumeração de seus elementos:

D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

2. Pela explicitação da propriedade característica de seus elementos:

D = {d | d é divisor positivo de 30}

3. Por meio de um diagrama:

Equações Diferenciais Ordinárias Homogêneas

Definição: Seja uma equação diferencial da forma $\begin{matrix}f(x,y)dy+g(x,y)dx=0\end{matrix}$ (ou da forma $\begin{matrix}f(x,y)\frac{dy}{dx}+g(x,y)=0\end{matrix}$). Será considerada homogênea se as funções $f(x,y)$ e $g(x,y)$ possuírem o mesmo grau.

Exemplos:

1) Verifique se as seguintes equações diferenciais são homogêneas:

a) $y^{'}=\dfrac{y+x}{x}$                                         b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}$

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}$                            d) $-ydx+\left(x+\sqrt{xy}\right)dy=0$


Soluções:

a) A equação diferencial $y^{'}=\frac{y+x}{x}$ também pode ser escrita da forma $\frac{dy}{dx}=\frac{y+x}{x}$. Então, temos que:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+x}{x}\rightarrow xdy-(y+x)dx=0$

onde $f(x,y)=x$ e $g(x,y)=y+x$.

Observe agora que o grau de $f(x,y)$ é 1, pois $x$ possui grau 1. Observe também que o grau de $g(x,y)$ também é 1, pois em $y+x$, $y$ e $x$ possuem grau 1. Como o grau de $f$ é o mesmo que de $g$, então, concluímos que a equação é homogênea.

b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow xdy-y^2dx=0$

Observe que o grau de $f$ é 1 enquanto que o grau de $g$ é 2. Como o grau de $f$ não é o mesmo que de $g$, então a equação é considerada não homogênea.

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \left(x^2+y^2sen\frac{x}{y}\right)dy-\left(2yxe^{\frac{x}{y}}\right)dx=0$

Note que o grau de $f$ é 2, pois $x$ e $y$ possuem grau 2. Quanto a $g$ devemos levar em consideração a soma dos expoentes de $x$ e de $y$ pois estão representando um produto (favor não confundir com a propriedade do produto de potências de mesma base. Aqui isto serve apenas como um "macete"). Como $f$ e $g$ possuem o mesmo grau, então a equação é homogênea.

d) É homogênea. Pois o grau de $f$ é o mesmo que de $g$.

Equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau é da forma $\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\end{matrix} \ ; \ a,b,c \in R$ e com $\begin{matrix}a\neq0\end{matrix}$. A equação é chamada de 2º grau pelo fato de ela possuir grau dois numa de suas incógnitas.

Exemplos de equações do 2º grau:

$\begin{matrix}x^2+4x-3=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}2x^2-8=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}x^2+4x=0\end{matrix}$

A maneira mais tradicional de resolver estas equações é utilizando a Fórmula de Bhaskara que iremos deduzir a seguir.

Deduzindo a Fórmula de Bhaskara

Partindo da equação $\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\end{matrix}$, iremos isolar a incógnita $\begin{matrix}x\end{matrix}$. Uma vez feito isso, encontraremos as raízes da equação que, nada mais e nada menos, é a Fórmula de Bhaskara.

Dividiremos então toda a equação pelo coeficiente $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e obteremos o seguinte: \begin{matrix}x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\end{matrix}

O próximo passo é isolar os termos que possui a variável dos termos que não possui a variável. Com isso, temos:

\begin{matrix}x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\end{matrix}

Se compararmos a expressão acima como possíveis áreas de figuras geométricas (desconsideraremos o sinal negativo do segundo membro da equação), obteremos quadrados e retângulos. O termo $x^2$ representa a área de um quadrado enquanto $\dfrac{b}{a}x$, a área de um retângulo. Observe:

Figura 1

Com o intuito de completar o quadrado, isto é, agregar o retângulo de lados $\dfrac{b}{a}$ e $x$ ao quadrado de lado $x$, então dividiremos o retângulo ao meio.

Figura 2

O próximo passo é adicionar as partes do retângulo ao quadrado. Veja:

Figura 3

Observe agora que, para completar o quadrado, precisaremos de um outro quadrado de lado  $\dfrac{b}{2a}$. Porém se adicionarmos a parte que falta ao quadrado, também deveremos adicionar a mesma parte ao segundo membro, ou seja, ao retângulo $-\dfrac{c}{a}$. Então:

Figura 4

Note que chegamos na expressão $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$. Deixando o segundo membro da equação com o mesmo denominador, isto é, tirar o M.M.C obteremos:

\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{ab^2-4a^2c}{4a^3}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\end{matrix}

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, teremos:

\begin{matrix}\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\end{matrix}

\begin{matrix}x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}

Portando, temos que a Fórmula de Bhaskara é dada por

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}
cujas as raízes são $\begin{matrix}x^{'}=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}x^{''}=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$

Exercícios resolvidos:

1) Calcule as raízes da equação $x^2+2x-3=0$.

Observe que os coeficientes 1, 2 e -3 são, respectivamente, $a, b$ e $c$.
Substituindo, então, esses valores na Fórmula de Bhaskara, iremos obter:

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}\end{matrix}

Logo, as raízes serão $x^{'}=1$ e $x^{''}=-3$. E o conjunto solução será $S=\{1,-3\}$.

2) Calcule as raízes da equação $2x^2-3x=0$.

Note que nesta equação o coeficiente $c$ é zero o que simplifica muito o processo de resolução. Então, atribuindo os valores dos coeficientes da equação na Fórmula de Bhaskara, teremos:

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot0}}{2\cdot2}\end{matrix}

As raízes da equação dada serão $x^{'}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ e $x^{''}=0$. E o conjunto solução é dado por $S=\left\{\dfrac{3}{2},0\right\}$.

Uma outra maneira de resolver equações do 2º grau quando o coeficiente $c$ for zero é colocar a incógnita $x$ em evidência. Observe:


$2x^2-3x=0$

$x(2x-3)=0$

Devemos sempre lembrar que o objetivo de resolver equações é encontrar seus respectivos zeros, isto é, o número que, quando atribuído à variável, satisfaz a igualdade. Neste caso, a primeira raiz sai de imediato. Pois basta observar que se a incógnita que está em evidência for zero, então o primeiro membro da equação será zero e valerá a igualdade.
Para encontrar a segunda raiz da equação, trabalharemos somente com a expressão presente dentro dos parênteses, isto é, com $2x-3=0$. Isto nos fornece que a segunda raiz da equação será $\dfrac{3}{2}$.

Círculo trigonométrico: seno, cosseno, tangente e cotangente

Lei de Kepler

As Leis de Kepler tratam dos movimentos dos planetas. São elas:

Lei das Órbitas, Lei das Áreas e a Lei dos Períodos.

1ª Lei de Kepler - Lei das Órbitas:

Na Lei das Órbitas, Kepler diz que os planetas fazem órbitas em formas elípticas em torno do sol. E o sol ocupa um dos focos da elipse.

Observe a figura:

Em que a é o semi-eixo maior (raio médio da órbita) e b é o semi-eixo menor. O ponto A é chamado de Periélio e o ponto B de Afélio.

2ª Lei de Kepler - Lei das Áreas:

Na Lei das Áreas, Kepler conclui que o raio que liga o sol a qualquer planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

3ª Lei de Kepler - Lei dos Períodos:

Na Lei dos Períodos, Kepler descobre que o quociente do quadrado dos períodos de revolução de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é igual a uma constante k, igual a todos os planetas. \begin{matrix}\dfrac{T^2}{a^3}=k\end{matrix}
Logo,\begin{matrix}\ T^2=k\cdot a^3\end{matrix}

Onde T é o período de revolução, a é a distância média do sol e k é uma constante.

O movimento de translação de um planeta em sua órbita elíptica em torno do Sol é variado, sendo acelerado do Afélio para o Periélio e retardado do Periélio para o Afélio.

Mediana de um triângulo

Mediana é o segmento com extremidades em um dos vértices e no ponto médio do lado oposto a este vértice.

$\begin{matrix}\overline{BM_a}\cong\overline{M_aC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{AM_a}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{BC}\end{matrix}$.

Todo triângulo possui três medianas. As medianas se interceptam num mesmo ponto que é denominado baricentro.

$\begin{matrix}\overline{AM}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{BC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{BD}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{AC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{CN}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{AB}\end{matrix}$

G é o baricentro

Potenciação de frações

Para desenvolver a potência de uma fração, aplicamos o expoente ao numerador e ao denominador. Ou multiplicamos a fração por ela mesma levando em consideração o grau de seu expoente.

Vejamos:

• $\begin{matrix}\left (\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2^2}{3^2}=\dfrac{4}{9}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}\left (\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 3}=\dfrac{4}{9}\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1^3}{2^3}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^0=1\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1\end{matrix}$


• $\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^1=\dfrac{2}{3}\end{matrix}$


• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1=\dfrac{1}{2}\end{matrix}$

Observação 1: A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Observação 2: Todo número diferente de zero quando elevado a zero, o resultado vai ser sempre 1.
Observação 3: Todo número diferente de zero quando elevado a um, o resultado vai ser sempre a própria base.

Escrevendo na forma abreviada:

Exemplos:

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\end{matrix}$

Lendo uma fração:

$\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\Rightarrow\end{matrix}$ Um meio elevado a dois ou um meio ao quadrado.

$\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\Rightarrow\end{matrix}$ Dois terços elevado a três ou dois terços ao cubo.

$\begin{matrix}\left(\dfrac{5}{4}\right)^4\Rightarrow\end{matrix}$ Cinco quartos elevado a quatro ou cinco quartos à quarta.

Divisão de frações

Na divisão de fração, para obtermos o quociente, devemos multiplicar a fração que estiver no numerador pela inversa da fração que estiver no denominador, isto é, multiplicar a primeira pela inversa da segunda.

Exemplos:



a) $\begin{matrix}\dfrac{4}{3}\div\dfrac{5}{7}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{7}{5}=\dfrac{4\cdot 7}{3\cdot 5}=\dfrac{28}{15}\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\div 11=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{11}=\dfrac{3}{55}\end{matrix}$

c) $\begin{matrix}\dfrac{3}{\dfrac{2}{7}}=3\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{21}{2}\end{matrix}$

d) $\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}\end{matrix}$

Exercícios resolvidos:

1) Quantos copos com capacidade igual a $\begin{matrix}\dfrac{1}{4}\end{matrix}$ de litro cabem em uma vasilha com capacidade igual a 3 litros?

Solução:

$\begin{matrix}\ 3\div\dfrac{1}{4}=3\cdot 4=12\end{matrix}$

Portanto, cabem 12 copos.

2) Quanto é a metade de$\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\end{matrix}$?

Solução:


$\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\div 2=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}\end{matrix}$

Logo, a metade de $\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\end{matrix}$ é $\begin{matrix}\dfrac{3}{10}\end{matrix}$.

Multiplicação de frações

Na multiplicação de frações, para obtermos o produto, multiplicamos o numerador com numerador e o denominador com denominador.

Veja o exemplo a seguir:

• $\begin{matrix}\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{4}=\dfrac{5\cdot 3}{6\cdot 4}=\dfrac{15}{24}\end{matrix}$

Simplificando a fração $\begin{matrix}\dfrac{15}{24}\end{matrix}$ por 3, obtemos: $\begin{matrix}\dfrac{5}{8}\end{matrix}$ 

• $\begin{matrix}\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{1\cdot 2\cdot6}{3\cdot 5\cdot 7}=\dfrac{12}{105}\end{matrix}$

Simplificando a fração$\begin{matrix}\dfrac{12}{105}\end{matrix}$ por 3, obtemos:$\begin{matrix}\dfrac{4}{35}\end{matrix}$

Representação Gráfica de um produto cartesiano

A representação gráfica de um produto cartesiano é feita utilizando o sistema cartesiano ortogonal (plano cartesiano). Este sistema constitui-se por dois eixos perpendiculares. Veja a figura:

No plano cartesiano, é conveniente chamarmos:

• O: origem;
• Ox: eixo das abscissas;
• Oy: eixo das ordenadas;
• $\begin{matrix}\ x_p\end{matrix}$: abscissa de P;
• $\begin{matrix}\ y_p\end{matrix}$: ordenada de P.

É dito que (x,y) é o par ordenado do ponto P relativamente ao sistema de eixos$\begin{matrix}\ O_{xy}\end{matrix}$. O plano é dividido pelo eixos $\begin{matrix}\ O_x\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\ O_y\end{matrix}$ em quatro regiões, que são chamadas de quadrantes e caracterizadas pelos sinais das coordenadas de seus pontos.

Produto cartesiano

Quando falamos em produto cartesiano, falamos na multiplicação de pares ordenados de um determinado conjunto A por um determinado conjunto B.

Por exemplo:

Considerando os conjuntos A = {0,3,7} e B = {5,1}, podemos fazer:

A x B = {(0,5), (0,1), (3,5), (3,1), (7,5), (7,1)}
B x A = {(5,0), (1,0), (5,3), (1,3), (5,7), (1,7)}

Note que A x B $\begin{matrix}\ne\end{matrix}$ B x A pela ordem em que as coordenadas dos pares ordenados se apresentam.

Uma introdução sobre Frações

Antes de tudo, vamos entender o significado da palavra Fração.
A palavra fração vem do latim Fractus que significa partido, dividido ou quebrado. Logo, fração quer dizer divisão.
As frações podem ser escritas das seguintes formas:

$\begin{matrix}\dfrac{a}{b}\end{matrix}$    e     a/b,

onde a é numerador e b é o denominador.

As frações são usadas para dividir algo em partes iguais, isto é, deixar todas as partes com o mesmo valor ou tamanho.
Por exemplo:

"João ganhou 30 reais de sua mãe. Ele pretende dividir esse dinheiro com seus dois irmãos. Qual a quantia que João deverá dar para cada um de seus irmãos de modo que todos recebam o mesmo valor em dinheiro?"

Note que neste exemplo o dinheiro deverá ser dividido entre três pessoas, isto é, entre João e seus dois irmãos. Logo, temos a seguinte fração:

$\begin{matrix}\dfrac{30}{3}\end{matrix}$

Como já sabemos que uma fração representa uma divisão, então basta dividir o numerador pelo denominador da fração, ou seja, dividimos 30 por 3. Quando efetuamos essa divisão, temos que $\begin{matrix}\dfrac{30}{3}=10\end{matrix}$, pois 30 dividido por 3 é igual a 10.

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial

$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Forma analítica: É a forma tradicional onde a solução, uma solução explícita ou implícita, é encontrada pelo uso direto do Cálculo Diferencial e Integral.


$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Forma numérica: Métodos numéricos são utilizados para aproximar soluções.

As soluções analíticas podem ser do tipo:

$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Solução Geral: Contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação.

Exemplo:

$\begin{matrix}y=C_1cosx+C_2senx\end{matrix}$ é solução geral de $\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Solução particular: Se obtém atribuindo-se valores particulares para as constantes.

Exemplo:

Tomando $\begin{matrix}C_1=1\end{matrix}$ e $\begin{matrix}C_2=0\end{matrix}$ no exemplo anterior, temos $\begin{matrix}y=cosx\end{matrix}$ solução particular de $\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$


$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Solução singular: É uma solução desprovida de constantes arbitrárias e que não pode ser obtida da Solução Geral.

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Solução para uma equação diferencial

Resolver ou integrar uma equação diferencial significa encontrar todas as funções que substituídas conjuntamente com suas derivadas na equação diferencial dada, as verificam identicamente. Tais funções chamam-se soluções da equação diferencial.

Exemplo 1: A função $\begin{matrix}y=C_1cosx+C_2senx\end{matrix}$, $\begin{matrix}C_1,C_2\in\mathbb{R}\end{matrix}$ são constantes arbitrárias, é solução da equação diferencial$\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$.

Pois,

$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=-C_1senx+C_2cosx\end{matrix}\\\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}=-C_1cosx-C_2senx\end{matrix}$

Substituindo em$\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$\begin{matrix}-C_1cosx-C_2senx+C_1cosx+C_2senx=0\\0=0\end{matrix}

Exemplo 2: Já a função$\begin{matrix}y=x^2\end{matrix}$ não é função da equação diferencial$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x+3\end{matrix}$.

Pois,$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x\end{matrix}$

Substituindo na equação$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x+3\end{matrix}\\\begin{matrix}2x\ne2x+3\end{matrix}$

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Ordem, Grau e Linearidade

Equação diferencial: É a equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, ou seja, uma equação da forma: \begin{matrix}F(x,y,y',y'',...,y^{n})\end{matrix}

As equações diferenciais são classificadas de acordo com:

• Tipo:

*Equação Diferencial Ordinária (EDO): A função incógnita depende de uma variável e, portanto, as derivadas são ordinárias.$\begin{matrix}(y=y(x))\end{matrix}$

*Equação Diferencial Parcial (EDP): A função incógnita depende de mais de uma variável, neste caso as derivadas são parciais.$\begin{matrix}(y=y(t,x_1,x_2,...,x_n))\end{matrix}$


Exemplo:

\begin{matrix}\dfrac{\partial y}{\partial x}+\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}&&&(EDP)\\\\\\\dfrac{dy}{dx}-5y=1&&&(EDO)\end{matrix}

• Ordem: É dada pela ordem da derivada de mais alta ordem.

Exemplo:\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3-4y=e^x\\\\\\y^{(9)}-xy''=x^2\end{matrix}

• Grau: É dado pelo grau da derivada de mais alta ordem, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem.

Exemplo:\begin{matrix}\left(\dfrac{d^3y}{dx^3}\right)^2-y=\dfrac{d^3y}{dx^3}\end{matrix}

• Linear ou não linear: As equações lineares são caracterizadas por duas propriedades:

1. A variável dependente$\begin{matrix}y\end{matrix}$e todas as suas derivadas devem ser do primeiro grau.
2. Todos os coeficientes são funções de$\begin{matrix}x\end{matrix}$(ou constantes).

Exemplos:

\begin{matrix}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)^3-2xy=1&&&Não&linear\\\\\\\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+y=0&&&Linear\\\\\\yy''-2y'=x&&&Não&linear\end{matrix}