Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Solução para uma equação diferencial

Resolver ou integrar uma equação diferencial significa encontrar todas as funções que substituídas conjuntamente com suas derivadas na equação diferencial dada, as verificam identicamente. Tais funções chamam-se soluções da equação diferencial.

Exemplo 1: A função $\begin{matrix}y=C_1cosx+C_2senx\end{matrix}$, $\begin{matrix}C_1,C_2\in\mathbb{R}\end{matrix}$ são constantes arbitrárias, é solução da equação diferencial$\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$.

Pois,

$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=-C_1senx+C_2cosx\end{matrix}\\\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}=-C_1cosx-C_2senx\end{matrix}$

Substituindo em$\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$\begin{matrix}-C_1cosx-C_2senx+C_1cosx+C_2senx=0\\0=0\end{matrix}

Exemplo 2: Já a função$\begin{matrix}y=x^2\end{matrix}$ não é função da equação diferencial$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x+3\end{matrix}$.

Pois,$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x\end{matrix}$

Substituindo na equação$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x+3\end{matrix}\\\begin{matrix}2x\ne2x+3\end{matrix}$