Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Ordem, Grau e Linearidade

Equação diferencial: É a equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, ou seja, uma equação da forma: \begin{matrix}F(x,y,y',y'',...,y^{n})\end{matrix}

As equações diferenciais são classificadas de acordo com:

• Tipo:

*Equação Diferencial Ordinária (EDO): A função incógnita depende de uma variável e, portanto, as derivadas são ordinárias.$\begin{matrix}(y=y(x))\end{matrix}$

*Equação Diferencial Parcial (EDP): A função incógnita depende de mais de uma variável, neste caso as derivadas são parciais.$\begin{matrix}(y=y(t,x_1,x_2,...,x_n))\end{matrix}$


Exemplo:

\begin{matrix}\dfrac{\partial y}{\partial x}+\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}&&&(EDP)\\\\\\\dfrac{dy}{dx}-5y=1&&&(EDO)\end{matrix}

• Ordem: É dada pela ordem da derivada de mais alta ordem.

Exemplo:\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3-4y=e^x\\\\\\y^{(9)}-xy''=x^2\end{matrix}

• Grau: É dado pelo grau da derivada de mais alta ordem, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem.

Exemplo:\begin{matrix}\left(\dfrac{d^3y}{dx^3}\right)^2-y=\dfrac{d^3y}{dx^3}\end{matrix}

• Linear ou não linear: As equações lineares são caracterizadas por duas propriedades:

1. A variável dependente$\begin{matrix}y\end{matrix}$e todas as suas derivadas devem ser do primeiro grau.
2. Todos os coeficientes são funções de$\begin{matrix}x\end{matrix}$(ou constantes).

Exemplos:

\begin{matrix}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)^3-2xy=1&&&Não&linear\\\\\\\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+y=0&&&Linear\\\\\\yy''-2y'=x&&&Não&linear\end{matrix}