Equações Diferenciais Ordinárias Homogêneas

Definição: Seja uma equação diferencial da forma $\begin{matrix}f(x,y)dy+g(x,y)dx=0\end{matrix}$ (ou da forma $\begin{matrix}f(x,y)\frac{dy}{dx}+g(x,y)=0\end{matrix}$). Será considerada homogênea se as funções $f(x,y)$ e $g(x,y)$ possuírem o mesmo grau.

Exemplos:

1) Verifique se as seguintes equações diferenciais são homogêneas:

a) $y^{'}=\dfrac{y+x}{x}$                                         b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}$

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}$                            d) $-ydx+\left(x+\sqrt{xy}\right)dy=0$


Soluções:

a) A equação diferencial $y^{'}=\frac{y+x}{x}$ também pode ser escrita da forma $\frac{dy}{dx}=\frac{y+x}{x}$. Então, temos que:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+x}{x}\rightarrow xdy-(y+x)dx=0$

onde $f(x,y)=x$ e $g(x,y)=y+x$.

Observe agora que o grau de $f(x,y)$ é 1, pois $x$ possui grau 1. Observe também que o grau de $g(x,y)$ também é 1, pois em $y+x$, $y$ e $x$ possuem grau 1. Como o grau de $f$ é o mesmo que de $g$, então, concluímos que a equação é homogênea.

b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow xdy-y^2dx=0$

Observe que o grau de $f$ é 1 enquanto que o grau de $g$ é 2. Como o grau de $f$ não é o mesmo que de $g$, então a equação é considerada não homogênea.

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \left(x^2+y^2sen\frac{x}{y}\right)dy-\left(2yxe^{\frac{x}{y}}\right)dx=0$

Note que o grau de $f$ é 2, pois $x$ e $y$ possuem grau 2. Quanto a $g$ devemos levar em consideração a soma dos expoentes de $x$ e de $y$ pois estão representando um produto (favor não confundir com a propriedade do produto de potências de mesma base. Aqui isto serve apenas como um "macete"). Como $f$ e $g$ possuem o mesmo grau, então a equação é homogênea.

d) É homogênea. Pois o grau de $f$ é o mesmo que de $g$.