Mediana de um triângulo

Mediana é o segmento com extremidades em um dos vértices e no ponto médio do lado oposto a este vértice.

$\begin{matrix}\overline{BM_a}\cong\overline{M_aC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{AM_a}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{BC}\end{matrix}$.

Todo triângulo possui três medianas. As medianas se interceptam num mesmo ponto que é denominado baricentro.

$\begin{matrix}\overline{AM}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{BC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{BD}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{AC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{CN}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{AB}\end{matrix}$

G é o baricentro

Potenciação de frações

Para desenvolver a potência de uma fração, aplicamos o expoente ao numerador e ao denominador. Ou multiplicamos a fração por ela mesma levando em consideração o grau de seu expoente.

Vejamos:

• $\begin{matrix}\left (\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2^2}{3^2}=\dfrac{4}{9}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}\left (\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 3}=\dfrac{4}{9}\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1^3}{2^3}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^0=1\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1\end{matrix}$


• $\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^1=\dfrac{2}{3}\end{matrix}$


• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1=\dfrac{1}{2}\end{matrix}$

Observação 1: A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Observação 2: Todo número diferente de zero quando elevado a zero, o resultado vai ser sempre 1.
Observação 3: Todo número diferente de zero quando elevado a um, o resultado vai ser sempre a própria base.

Escrevendo na forma abreviada:

Exemplos:

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\end{matrix}$

Lendo uma fração:

$\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\Rightarrow\end{matrix}$ Um meio elevado a dois ou um meio ao quadrado.

$\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\Rightarrow\end{matrix}$ Dois terços elevado a três ou dois terços ao cubo.

$\begin{matrix}\left(\dfrac{5}{4}\right)^4\Rightarrow\end{matrix}$ Cinco quartos elevado a quatro ou cinco quartos à quarta.

Divisão de frações

Na divisão de fração, para obtermos o quociente, devemos multiplicar a fração que estiver no numerador pela inversa da fração que estiver no denominador, isto é, multiplicar a primeira pela inversa da segunda.

Exemplos:



a) $\begin{matrix}\dfrac{4}{3}\div\dfrac{5}{7}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{7}{5}=\dfrac{4\cdot 7}{3\cdot 5}=\dfrac{28}{15}\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\div 11=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{11}=\dfrac{3}{55}\end{matrix}$

c) $\begin{matrix}\dfrac{3}{\dfrac{2}{7}}=3\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{21}{2}\end{matrix}$

d) $\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}\end{matrix}$

Exercícios resolvidos:

1) Quantos copos com capacidade igual a $\begin{matrix}\dfrac{1}{4}\end{matrix}$ de litro cabem em uma vasilha com capacidade igual a 3 litros?

Solução:

$\begin{matrix}\ 3\div\dfrac{1}{4}=3\cdot 4=12\end{matrix}$

Portanto, cabem 12 copos.

2) Quanto é a metade de$\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\end{matrix}$?

Solução:


$\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\div 2=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}\end{matrix}$

Logo, a metade de $\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\end{matrix}$ é $\begin{matrix}\dfrac{3}{10}\end{matrix}$.

Multiplicação de frações

Na multiplicação de frações, para obtermos o produto, multiplicamos o numerador com numerador e o denominador com denominador.

Veja o exemplo a seguir:

• $\begin{matrix}\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{4}=\dfrac{5\cdot 3}{6\cdot 4}=\dfrac{15}{24}\end{matrix}$

Simplificando a fração $\begin{matrix}\dfrac{15}{24}\end{matrix}$ por 3, obtemos: $\begin{matrix}\dfrac{5}{8}\end{matrix}$ 

• $\begin{matrix}\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{1\cdot 2\cdot6}{3\cdot 5\cdot 7}=\dfrac{12}{105}\end{matrix}$

Simplificando a fração$\begin{matrix}\dfrac{12}{105}\end{matrix}$ por 3, obtemos:$\begin{matrix}\dfrac{4}{35}\end{matrix}$

Representação Gráfica de um produto cartesiano

A representação gráfica de um produto cartesiano é feita utilizando o sistema cartesiano ortogonal (plano cartesiano). Este sistema constitui-se por dois eixos perpendiculares. Veja a figura:

No plano cartesiano, é conveniente chamarmos:

• O: origem;
• Ox: eixo das abscissas;
• Oy: eixo das ordenadas;
• $\begin{matrix}\ x_p\end{matrix}$: abscissa de P;
• $\begin{matrix}\ y_p\end{matrix}$: ordenada de P.

É dito que (x,y) é o par ordenado do ponto P relativamente ao sistema de eixos$\begin{matrix}\ O_{xy}\end{matrix}$. O plano é dividido pelo eixos $\begin{matrix}\ O_x\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\ O_y\end{matrix}$ em quatro regiões, que são chamadas de quadrantes e caracterizadas pelos sinais das coordenadas de seus pontos.

Produto cartesiano

Quando falamos em produto cartesiano, falamos na multiplicação de pares ordenados de um determinado conjunto A por um determinado conjunto B.

Por exemplo:

Considerando os conjuntos A = {0,3,7} e B = {5,1}, podemos fazer:

A x B = {(0,5), (0,1), (3,5), (3,1), (7,5), (7,1)}
B x A = {(5,0), (1,0), (5,3), (1,3), (5,7), (1,7)}

Note que A x B $\begin{matrix}\ne\end{matrix}$ B x A pela ordem em que as coordenadas dos pares ordenados se apresentam.

Uma introdução sobre Frações

Antes de tudo, vamos entender o significado da palavra Fração.
A palavra fração vem do latim Fractus que significa partido, dividido ou quebrado. Logo, fração quer dizer divisão.
As frações podem ser escritas das seguintes formas:

$\begin{matrix}\dfrac{a}{b}\end{matrix}$    e     a/b,

onde a é numerador e b é o denominador.

As frações são usadas para dividir algo em partes iguais, isto é, deixar todas as partes com o mesmo valor ou tamanho.
Por exemplo:

"João ganhou 30 reais de sua mãe. Ele pretende dividir esse dinheiro com seus dois irmãos. Qual a quantia que João deverá dar para cada um de seus irmãos de modo que todos recebam o mesmo valor em dinheiro?"

Note que neste exemplo o dinheiro deverá ser dividido entre três pessoas, isto é, entre João e seus dois irmãos. Logo, temos a seguinte fração:

$\begin{matrix}\dfrac{30}{3}\end{matrix}$

Como já sabemos que uma fração representa uma divisão, então basta dividir o numerador pelo denominador da fração, ou seja, dividimos 30 por 3. Quando efetuamos essa divisão, temos que $\begin{matrix}\dfrac{30}{3}=10\end{matrix}$, pois 30 dividido por 3 é igual a 10.

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial

$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Forma analítica: É a forma tradicional onde a solução, uma solução explícita ou implícita, é encontrada pelo uso direto do Cálculo Diferencial e Integral.


$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Forma numérica: Métodos numéricos são utilizados para aproximar soluções.

As soluções analíticas podem ser do tipo:

$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Solução Geral: Contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação.

Exemplo:

$\begin{matrix}y=C_1cosx+C_2senx\end{matrix}$ é solução geral de $\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Solução particular: Se obtém atribuindo-se valores particulares para as constantes.

Exemplo:

Tomando $\begin{matrix}C_1=1\end{matrix}$ e $\begin{matrix}C_2=0\end{matrix}$ no exemplo anterior, temos $\begin{matrix}y=cosx\end{matrix}$ solução particular de $\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$


$\begin{matrix}\rightarrow\end{matrix}$ Solução singular: É uma solução desprovida de constantes arbitrárias e que não pode ser obtida da Solução Geral.

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Solução para uma equação diferencial

Resolver ou integrar uma equação diferencial significa encontrar todas as funções que substituídas conjuntamente com suas derivadas na equação diferencial dada, as verificam identicamente. Tais funções chamam-se soluções da equação diferencial.

Exemplo 1: A função $\begin{matrix}y=C_1cosx+C_2senx\end{matrix}$, $\begin{matrix}C_1,C_2\in\mathbb{R}\end{matrix}$ são constantes arbitrárias, é solução da equação diferencial$\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$.

Pois,

$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=-C_1senx+C_2cosx\end{matrix}\\\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}=-C_1cosx-C_2senx\end{matrix}$

Substituindo em$\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=0\end{matrix}$\begin{matrix}-C_1cosx-C_2senx+C_1cosx+C_2senx=0\\0=0\end{matrix}

Exemplo 2: Já a função$\begin{matrix}y=x^2\end{matrix}$ não é função da equação diferencial$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x+3\end{matrix}$.

Pois,$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x\end{matrix}$

Substituindo na equação$\begin{matrix}\dfrac{dy}{dx}=2x+3\end{matrix}\\\begin{matrix}2x\ne2x+3\end{matrix}$

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Ordem, Grau e Linearidade

Equação diferencial: É a equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, ou seja, uma equação da forma: \begin{matrix}F(x,y,y',y'',...,y^{n})\end{matrix}

As equações diferenciais são classificadas de acordo com:

• Tipo:

*Equação Diferencial Ordinária (EDO): A função incógnita depende de uma variável e, portanto, as derivadas são ordinárias.$\begin{matrix}(y=y(x))\end{matrix}$

*Equação Diferencial Parcial (EDP): A função incógnita depende de mais de uma variável, neste caso as derivadas são parciais.$\begin{matrix}(y=y(t,x_1,x_2,...,x_n))\end{matrix}$


Exemplo:

\begin{matrix}\dfrac{\partial y}{\partial x}+\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}&&&(EDP)\\\\\\\dfrac{dy}{dx}-5y=1&&&(EDO)\end{matrix}

• Ordem: É dada pela ordem da derivada de mais alta ordem.

Exemplo:\begin{matrix}\dfrac{d^2y}{dx^2}+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3-4y=e^x\\\\\\y^{(9)}-xy''=x^2\end{matrix}

• Grau: É dado pelo grau da derivada de mais alta ordem, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem.

Exemplo:\begin{matrix}\left(\dfrac{d^3y}{dx^3}\right)^2-y=\dfrac{d^3y}{dx^3}\end{matrix}

• Linear ou não linear: As equações lineares são caracterizadas por duas propriedades:

1. A variável dependente$\begin{matrix}y\end{matrix}$e todas as suas derivadas devem ser do primeiro grau.
2. Todos os coeficientes são funções de$\begin{matrix}x\end{matrix}$(ou constantes).

Exemplos:

\begin{matrix}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)^3-2xy=1&&&Não&linear\\\\\\\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+y=0&&&Linear\\\\\\yy''-2y'=x&&&Não&linear\end{matrix}

Quadrados perfeitos e suas raízes

Os pares de quadrados perfeitos:

144 e 441, 169 e 961, 14884 e 48841
e suas respectivas raízes:

12 e 21, 13 e 31, 122 e 221, são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos em ordem inversa.

O matemático Thébault investigou os pares que têm esta curiosa propriedade. Encontrou, por exemplo, a seguinte dupla:

1113² = 1.238.769   e   3111² = 9.678.321

Você sabe o que são números regulares?

Um número é dito regular se sua decomposição em fatores primos apresenta apenas potências de 2, 3 e 5.

Exemplo:

60 é um número regular, pois 60= 2².3.5.

Quadrados de números inteiros

O quadrado de um numero é um dos inteiros da série 1, 4, 9, 16, 25, etc. Não se torna difícil verificar a relação entre os membros consecutivos desta série. Verificamos que se somarmos o quadrado de x , mais duas vezes x mais 1 , o próximo quadrado sucessivo é obtido.

Por exemplo , 5² + 2.5 + 1  =  25+10+ 1 = 36 = 6²

Se soubermos o valor de um determinado número ao quadrado, o próximo numero é facilmente obtido.
Exemplo: Sabendo que o quadrado de 18 é 324 , temos:

19² = 18² + 2.18 + 1 = 324+36+ 1 = 361

A razão para tal fato verifica-se pela relação algébrica:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

19 = (18 + 1) = 18² + 2.18.1 + 1² = 361

Você sabe o que são números de Mersenne?

São números inteiros da forma M_p = 2^p -1. Se M_p é um número primo, o numero p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne. O último descoberto corresponde a p= 859 433, cujo número de Mersenne é o 2⁸⁵⁹⁴³³ -1. 

Não se sabe se há um número infinito deles.

Você sabe o que representa o número Pi?

O número PI representa o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. É a mais antiga constante matemática que se conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais e não periódico.

Você sabe o que são números triangulares?

Os primeiros números triangulares são 1, 3 e 6. Veja por que:

Os números triangulares podem ser calculados através de duas fórmulas: a iterativa e a recursiva:

Fórmula iterativa

T(n) = 1+2+3+...+n

Fórmula recursiva

T(1) = 1
T(n+1) = T(n)+(n+1)

Uma curiosidade com números de três algarismos

Escolha um numero de três algarismos:
Ex: 234

Repita este numero na frente do mesmo:
234234

Agora divida por 13:
234234 / 13 = 18018

Agora divida o resultado por 11:
18018 / 11 = 1638

Divida novamente o resultado, só que agora por 7:
1638 / 7 = 234

O resultado é igual ao numero de três algarismos que você havia escolhido: 234.

Você conhece o número mágico?

1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:

Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:

875 - 578 = 297

Agora inverta também esse resultado e faça a soma:

297 + 792 = 1089  (o número mágico)

Aviso: antes que você nos envie um e-mail dizendo que não funciona com determinados números, lembramos que devem ser usado três dígitos no cálculo. Exemplo:

574 - 475 = 099
099 + 990 = 1089

Outra forma de calcular potências

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n² é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. 

Exemplo:

5² = 1+3+5+7+9 = 25

Você sabe o que é um número capicua?

Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:

Partindo do número 84: 84+48=132;132+231=363, que é um número capicua.

Você sabe o que são números amigáveis?

Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.
Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284.
Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.