Mediana de um triângulo

Mediana é o segmento com extremidades em um dos vértices e no ponto médio do lado oposto a este vértice.

$\begin{matrix}\overline{BM_a}\cong\overline{M_aC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{AM_a}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{BC}\end{matrix}$.

Todo triângulo possui três medianas. As medianas se interceptam num mesmo ponto que é denominado baricentro.

$\begin{matrix}\overline{AM}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{BC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{BD}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{AC}\end{matrix}$

$\begin{matrix}\overline{CN}\end{matrix}$ é a mediana relativa ao lado$\begin{matrix}\overline{AB}\end{matrix}$

G é o baricentro

Potenciação de frações

Para desenvolver a potência de uma fração, aplicamos o expoente ao numerador e ao denominador. Ou multiplicamos a fração por ela mesma levando em consideração o grau de seu expoente.

Vejamos:

• $\begin{matrix}\left (\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2^2}{3^2}=\dfrac{4}{9}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}\left (\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 3}=\dfrac{4}{9}\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1^3}{2^3}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^0=1\end{matrix}$

• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1\end{matrix}$


• $\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^1=\dfrac{2}{3}\end{matrix}$


• $\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1=\dfrac{1}{2}\end{matrix}$

Observação 1: A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Observação 2: Todo número diferente de zero quando elevado a zero, o resultado vai ser sempre 1.
Observação 3: Todo número diferente de zero quando elevado a um, o resultado vai ser sempre a própria base.

Escrevendo na forma abreviada:

Exemplos:

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\end{matrix}$

Lendo uma fração:

$\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\Rightarrow\end{matrix}$ Um meio elevado a dois ou um meio ao quadrado.

$\begin{matrix}\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\Rightarrow\end{matrix}$ Dois terços elevado a três ou dois terços ao cubo.

$\begin{matrix}\left(\dfrac{5}{4}\right)^4\Rightarrow\end{matrix}$ Cinco quartos elevado a quatro ou cinco quartos à quarta.

Divisão de frações

Na divisão de fração, para obtermos o quociente, devemos multiplicar a fração que estiver no numerador pela inversa da fração que estiver no denominador, isto é, multiplicar a primeira pela inversa da segunda.

Exemplos:



a) $\begin{matrix}\dfrac{4}{3}\div\dfrac{5}{7}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{7}{5}=\dfrac{4\cdot 7}{3\cdot 5}=\dfrac{28}{15}\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\div 11=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{11}=\dfrac{3}{55}\end{matrix}$

c) $\begin{matrix}\dfrac{3}{\dfrac{2}{7}}=3\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{21}{2}\end{matrix}$

d) $\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}\end{matrix}$

Exercícios resolvidos:

1) Quantos copos com capacidade igual a $\begin{matrix}\dfrac{1}{4}\end{matrix}$ de litro cabem em uma vasilha com capacidade igual a 3 litros?

Solução:

$\begin{matrix}\ 3\div\dfrac{1}{4}=3\cdot 4=12\end{matrix}$

Portanto, cabem 12 copos.

2) Quanto é a metade de$\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\end{matrix}$?

Solução:


$\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\div 2=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}\end{matrix}$

Logo, a metade de $\begin{matrix}\dfrac{3}{5}\end{matrix}$ é $\begin{matrix}\dfrac{3}{10}\end{matrix}$.

Multiplicação de frações

Na multiplicação de frações, para obtermos o produto, multiplicamos o numerador com numerador e o denominador com denominador.

Veja o exemplo a seguir:

• $\begin{matrix}\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{4}=\dfrac{5\cdot 3}{6\cdot 4}=\dfrac{15}{24}\end{matrix}$

Simplificando a fração $\begin{matrix}\dfrac{15}{24}\end{matrix}$ por 3, obtemos: $\begin{matrix}\dfrac{5}{8}\end{matrix}$ 

• $\begin{matrix}\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{1\cdot 2\cdot6}{3\cdot 5\cdot 7}=\dfrac{12}{105}\end{matrix}$

Simplificando a fração$\begin{matrix}\dfrac{12}{105}\end{matrix}$ por 3, obtemos:$\begin{matrix}\dfrac{4}{35}\end{matrix}$

Representação Gráfica de um produto cartesiano

A representação gráfica de um produto cartesiano é feita utilizando o sistema cartesiano ortogonal (plano cartesiano). Este sistema constitui-se por dois eixos perpendiculares. Veja a figura:

No plano cartesiano, é conveniente chamarmos:

• O: origem;
• Ox: eixo das abscissas;
• Oy: eixo das ordenadas;
• $\begin{matrix}\ x_p\end{matrix}$: abscissa de P;
• $\begin{matrix}\ y_p\end{matrix}$: ordenada de P.

É dito que (x,y) é o par ordenado do ponto P relativamente ao sistema de eixos$\begin{matrix}\ O_{xy}\end{matrix}$. O plano é dividido pelo eixos $\begin{matrix}\ O_x\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\ O_y\end{matrix}$ em quatro regiões, que são chamadas de quadrantes e caracterizadas pelos sinais das coordenadas de seus pontos.

Produto cartesiano

Quando falamos em produto cartesiano, falamos na multiplicação de pares ordenados de um determinado conjunto A por um determinado conjunto B.

Por exemplo:

Considerando os conjuntos A = {0,3,7} e B = {5,1}, podemos fazer:

A x B = {(0,5), (0,1), (3,5), (3,1), (7,5), (7,1)}
B x A = {(5,0), (1,0), (5,3), (1,3), (5,7), (1,7)}

Note que A x B $\begin{matrix}\ne\end{matrix}$ B x A pela ordem em que as coordenadas dos pares ordenados se apresentam.

Uma introdução sobre Frações

Antes de tudo, vamos entender o significado da palavra Fração.
A palavra fração vem do latim Fractus que significa partido, dividido ou quebrado. Logo, fração quer dizer divisão.
As frações podem ser escritas das seguintes formas:

$\begin{matrix}\dfrac{a}{b}\end{matrix}$    e     a/b,

onde a é numerador e b é o denominador.

As frações são usadas para dividir algo em partes iguais, isto é, deixar todas as partes com o mesmo valor ou tamanho.
Por exemplo:

"João ganhou 30 reais de sua mãe. Ele pretende dividir esse dinheiro com seus dois irmãos. Qual a quantia que João deverá dar para cada um de seus irmãos de modo que todos recebam o mesmo valor em dinheiro?"

Note que neste exemplo o dinheiro deverá ser dividido entre três pessoas, isto é, entre João e seus dois irmãos. Logo, temos a seguinte fração:

$\begin{matrix}\dfrac{30}{3}\end{matrix}$

Como já sabemos que uma fração representa uma divisão, então basta dividir o numerador pelo denominador da fração, ou seja, dividimos 30 por 3. Quando efetuamos essa divisão, temos que $\begin{matrix}\dfrac{30}{3}=10\end{matrix}$, pois 30 dividido por 3 é igual a 10.