Números naturais

Os números naturais surgiram com a  necessidade de efetuar uma contagem. O conjuntos dos números naturais é indicado por: \begin{matrix}\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,...\}\end{matrix}.

Usamos o símbolo (*) para indicar a exclusão do elemento 0 (zero) de qualquer conjunto numérico.

\begin{matrix}\mathbb{N^*}=\{1,2,3,4,5,...\}\end{matrix}

Alguns matemáticos não consideram o zero como natural porque, historicamente, surgiu da necessidade de preencher as casas vazias na expressão de um número, isto é, não como número, e sim como algarismo em  um sistema de numeração posicional.

Números racionais

O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica.

Por exemplo, $\begin{matrix}\dfrac{3}{8}\end{matrix}$ é número racional e é o mesmo que 0,375.

$\begin{matrix}\dfrac{1}{9}\end{matrix}$ é número racional e é o mesmo que 0,1111111...

Observe que na divisão continuada do numerador p pelo denominador q, só podem ocorrer q restos diferentes, daí a periodicidade.

$\begin{matrix}\dfrac{2}{7}=0,285714285...\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{4}{13}=0,307692307...\end{matrix}$


Genericamente, podemos escrever que:

$\begin{matrix}\mathbb{Q}=\left\{x|x=\dfrac{p}{q}; p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{Z^*}\right\}\end{matrix}$


Note que todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser expresso na forma $\begin{matrix}\dfrac{p}{1}\left(p\in\mathbb{Z}\right)\end{matrix}$. Logo, $\begin{matrix}\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\end{matrix}$.

Admitem-se também as notações $\begin{matrix}\mathbb{Q_+ , Q_- , Q^* , Q^*_+}\end{matrix} e \begin{matrix}\mathbb{{Q^*}_-}\end{matrix}$ para subconjuntos  de $\begin{matrix}\mathbb{Q}\end{matrix}$.

Números reais

Os números reais são o modelo matemático para expressar as medidas. Formam um conjunto de números que que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou decimal infinita e periódica ou decimal infinita e não periódica. Quando é finita ou infinita e periódica, tem-se um número racional. Caso contrário, tem-se um número irracional.

Indicamos esse conjunto dos números reais pelo símbolo $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$.
Todo número racional é um número real. Portanto, $\begin{matrix}\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\end{matrix}$.

Veja alguns exemplos de números reais que são irracionais:

Raiz quadrada de dois:

$\begin{matrix}\sqrt{2}=1,414213562373...\end{matrix}$


O número Pi:

$\begin{matrix}\pi=3,14159265358979...\end{matrix}$


O número de ouro:

$\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398874989...\end{matrix}$


Admitem-se também para os números reais as notações $\begin{matrix}\mathbb{R^*}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R_+}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R_-}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R^*_+}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\mathbb{R^*_{-}}\end{matrix}$.

Representação das relações entre $\begin{matrix}\mathbb{N}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{Z}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{Q}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$.

Intervalos

Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número $\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\end{matrix}$ a um ponto de uma reta $\begin{matrix}r\end{matrix}$. Assim, se convencionarmos uma origem $\begin{matrix}O\end{matrix}$, associando a ela o zero, adotarmos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta orientada:

Sejam $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e $\begin{matrix}b\end{matrix}$ números reais com $\begin{matrix}a < b\end{matrix}$. Os subconjuntos de $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$ a seguir são chamados intervalos.

Intervalos limitados

Intervalo fechado - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x\leq b\}\end{matrix}$


Intervalo aberto - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a,b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a < x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à esquerda - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à direita - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a< x\leq b\}\end{matrix}$

Intervalos ilimitados

Semi-reta esquerda, fechada, de origem b - Números reais menores do que b ou iguais a b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b]\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x\leq b\}\end{matrix}$


Semi-reta esquerda, aberta, de origem b - Números reais menores do que b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x < b\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, fechada, de origem a - Números reais maiores do que a ou iguais a a.

Intervalo: $\begin{matrix}[a , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x\geq a\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, aberta, de origem a - Números reais maiores do que a.

Intervalo: $\begin{matrix}]a , +\infty [\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x > a \}\end{matrix}$


Reta numérica - Números reais.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$

Conjuntos finitos e conjuntos infinitos

Os conjuntos podem ser classificados conforme a quantidade de elementos distintos que a eles pertencem. Vamos indicar n(A) o número de elementos distintos de um conjunto A qualquer.

Se um conjunto não possuir elementos (n(A)=0), será chamado conjunto vazio.

Notação:

$\begin{matrix}A=\{\hspace{0,1 cm}\}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}A=\emptyset\end{matrix}$

Quando um conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), será denominado conjunto unitário.
De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos.

Conjunto Universo

Chamamos conjunto universo ao conjunto mais amplo ao qual os elementos dos conjuntos que desejamos representar pertençam. Esse conjunto, do qual os conjuntos que desejamos representar são subconjuntos, é simbolizado por U.

Conjunto universo U contém os conjuntos A e B

Conjuntos

Noções elementares

Por intuição, quando falamos de um conjunto, sempre lembramos de um grupo de indivíduos, de objetos ou coisas. Na teoria dos conjuntos a ideia é a mesma.
Um conjunto é constituído por elementos, neste caso, os números.

Notação:

A, B, C, ... indicam o conjunto
a, b, c, ... indicam os elementos

E quanto à ideia de constituir um conjunto, sempre associamos o conceito de pertencer, isto é, o elemento pode pertencer ao conjunto ou não.

Notação:


$\begin{matrix}\in\end{matrix}$ pertence

$\begin{matrix}\notin\end{matrix}$ não pertence

Representação de conjuntos

Um conjunto pode ser representado de três maneiras distintas.
Para exemplo, consideraremos o conjunto D dos divisores positivos de 30.

1. Pela enumeração de seus elementos:

D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

2. Pela explicitação da propriedade característica de seus elementos:

D = {d | d é divisor positivo de 30}

3. Por meio de um diagrama:

Equações Diferenciais Ordinárias Homogêneas

Definição: Seja uma equação diferencial da forma $\begin{matrix}f(x,y)dy+g(x,y)dx=0\end{matrix}$ (ou da forma $\begin{matrix}f(x,y)\frac{dy}{dx}+g(x,y)=0\end{matrix}$). Será considerada homogênea se as funções $f(x,y)$ e $g(x,y)$ possuírem o mesmo grau.

Exemplos:

1) Verifique se as seguintes equações diferenciais são homogêneas:

a) $y^{'}=\dfrac{y+x}{x}$                                         b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}$

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}$                            d) $-ydx+\left(x+\sqrt{xy}\right)dy=0$


Soluções:

a) A equação diferencial $y^{'}=\frac{y+x}{x}$ também pode ser escrita da forma $\frac{dy}{dx}=\frac{y+x}{x}$. Então, temos que:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+x}{x}\rightarrow xdy-(y+x)dx=0$

onde $f(x,y)=x$ e $g(x,y)=y+x$.

Observe agora que o grau de $f(x,y)$ é 1, pois $x$ possui grau 1. Observe também que o grau de $g(x,y)$ também é 1, pois em $y+x$, $y$ e $x$ possuem grau 1. Como o grau de $f$ é o mesmo que de $g$, então, concluímos que a equação é homogênea.

b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow xdy-y^2dx=0$

Observe que o grau de $f$ é 1 enquanto que o grau de $g$ é 2. Como o grau de $f$ não é o mesmo que de $g$, então a equação é considerada não homogênea.

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \left(x^2+y^2sen\frac{x}{y}\right)dy-\left(2yxe^{\frac{x}{y}}\right)dx=0$

Note que o grau de $f$ é 2, pois $x$ e $y$ possuem grau 2. Quanto a $g$ devemos levar em consideração a soma dos expoentes de $x$ e de $y$ pois estão representando um produto (favor não confundir com a propriedade do produto de potências de mesma base. Aqui isto serve apenas como um "macete"). Como $f$ e $g$ possuem o mesmo grau, então a equação é homogênea.

d) É homogênea. Pois o grau de $f$ é o mesmo que de $g$.