Números racionais

O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica.

Por exemplo, $\begin{matrix}\dfrac{3}{8}\end{matrix}$ é número racional e é o mesmo que 0,375.

$\begin{matrix}\dfrac{1}{9}\end{matrix}$ é número racional e é o mesmo que 0,1111111...

Observe que na divisão continuada do numerador p pelo denominador q, só podem ocorrer q restos diferentes, daí a periodicidade.

$\begin{matrix}\dfrac{2}{7}=0,285714285...\end{matrix}$

$\begin{matrix}\dfrac{4}{13}=0,307692307...\end{matrix}$


Genericamente, podemos escrever que:

$\begin{matrix}\mathbb{Q}=\left\{x|x=\dfrac{p}{q}; p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{Z^*}\right\}\end{matrix}$


Note que todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser expresso na forma $\begin{matrix}\dfrac{p}{1}\left(p\in\mathbb{Z}\right)\end{matrix}$. Logo, $\begin{matrix}\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\end{matrix}$.

Admitem-se também as notações $\begin{matrix}\mathbb{Q_+ , Q_- , Q^* , Q^*_+}\end{matrix} e \begin{matrix}\mathbb{{Q^*}_-}\end{matrix}$ para subconjuntos  de $\begin{matrix}\mathbb{Q}\end{matrix}$.

Números reais

Os números reais são o modelo matemático para expressar as medidas. Formam um conjunto de números que que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou decimal infinita e periódica ou decimal infinita e não periódica. Quando é finita ou infinita e periódica, tem-se um número racional. Caso contrário, tem-se um número irracional.

Indicamos esse conjunto dos números reais pelo símbolo $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$.
Todo número racional é um número real. Portanto, $\begin{matrix}\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\end{matrix}$.

Veja alguns exemplos de números reais que são irracionais:

Raiz quadrada de dois:

$\begin{matrix}\sqrt{2}=1,414213562373...\end{matrix}$


O número Pi:

$\begin{matrix}\pi=3,14159265358979...\end{matrix}$


O número de ouro:

$\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398874989...\end{matrix}$


Admitem-se também para os números reais as notações $\begin{matrix}\mathbb{R^*}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R_+}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R_-}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{R^*_+}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\mathbb{R^*_{-}}\end{matrix}$.

Representação das relações entre $\begin{matrix}\mathbb{N}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{Z}\end{matrix}$, $\begin{matrix}\mathbb{Q}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$.