Intervalos

Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número $\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\end{matrix}$ a um ponto de uma reta $\begin{matrix}r\end{matrix}$. Assim, se convencionarmos uma origem $\begin{matrix}O\end{matrix}$, associando a ela o zero, adotarmos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta orientada:

Sejam $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e $\begin{matrix}b\end{matrix}$ números reais com $\begin{matrix}a < b\end{matrix}$. Os subconjuntos de $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$ a seguir são chamados intervalos.

Intervalos limitados

Intervalo fechado - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x\leq b\}\end{matrix}$


Intervalo aberto - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a,b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a < x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à esquerda - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à direita - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a< x\leq b\}\end{matrix}$

Intervalos ilimitados

Semi-reta esquerda, fechada, de origem b - Números reais menores do que b ou iguais a b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b]\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x\leq b\}\end{matrix}$


Semi-reta esquerda, aberta, de origem b - Números reais menores do que b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x < b\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, fechada, de origem a - Números reais maiores do que a ou iguais a a.

Intervalo: $\begin{matrix}[a , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x\geq a\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, aberta, de origem a - Números reais maiores do que a.

Intervalo: $\begin{matrix}]a , +\infty [\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x > a \}\end{matrix}$


Reta numérica - Números reais.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$

Conjuntos finitos e conjuntos infinitos

Os conjuntos podem ser classificados conforme a quantidade de elementos distintos que a eles pertencem. Vamos indicar n(A) o número de elementos distintos de um conjunto A qualquer.

Se um conjunto não possuir elementos (n(A)=0), será chamado conjunto vazio.

Notação:

$\begin{matrix}A=\{\hspace{0,1 cm}\}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}A=\emptyset\end{matrix}$

Quando um conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), será denominado conjunto unitário.
De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos.

Conjunto Universo

Chamamos conjunto universo ao conjunto mais amplo ao qual os elementos dos conjuntos que desejamos representar pertençam. Esse conjunto, do qual os conjuntos que desejamos representar são subconjuntos, é simbolizado por U.

Conjunto universo U contém os conjuntos A e B

Conjuntos

Noções elementares

Por intuição, quando falamos de um conjunto, sempre lembramos de um grupo de indivíduos, de objetos ou coisas. Na teoria dos conjuntos a ideia é a mesma.
Um conjunto é constituído por elementos, neste caso, os números.

Notação:

A, B, C, ... indicam o conjunto
a, b, c, ... indicam os elementos

E quanto à ideia de constituir um conjunto, sempre associamos o conceito de pertencer, isto é, o elemento pode pertencer ao conjunto ou não.

Notação:


$\begin{matrix}\in\end{matrix}$ pertence

$\begin{matrix}\notin\end{matrix}$ não pertence

Representação de conjuntos

Um conjunto pode ser representado de três maneiras distintas.
Para exemplo, consideraremos o conjunto D dos divisores positivos de 30.

1. Pela enumeração de seus elementos:

D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

2. Pela explicitação da propriedade característica de seus elementos:

D = {d | d é divisor positivo de 30}

3. Por meio de um diagrama: