Exemplos de equações do 2º grau:
$\begin{matrix}x^2+4x-3=0\end{matrix}$
$\begin{matrix}2x^2-8=0\end{matrix}$
$\begin{matrix}x^2+4x=0\end{matrix}$
A maneira mais tradicional de resolver estas equações é utilizando a Fórmula de Bhaskara que iremos deduzir a seguir.
Deduzindo a Fórmula de Bhaskara
Partindo da equação $\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\end{matrix}$, iremos isolar a incógnita $\begin{matrix}x\end{matrix}$. Uma vez feito isso, encontraremos as raízes da equação que, nada mais e nada menos, é a Fórmula de Bhaskara.
Dividiremos então toda a equação pelo coeficiente $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e obteremos o seguinte: \begin{matrix}x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\end{matrix}
O próximo passo é isolar os termos que possui a variável dos termos que não possui a variável. Com isso, temos:
Se compararmos a expressão acima como possíveis áreas de figuras geométricas (desconsideraremos o sinal negativo do segundo membro da equação), obteremos quadrados e retângulos. O termo $x^2$ representa a área de um quadrado enquanto $\dfrac{b}{a}x$, a área de um retângulo. Observe:
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| Figura 1 |
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| Figura 2 |
O próximo passo é adicionar as partes do retângulo ao quadrado. Veja:
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| Figura 3 |
Observe agora que, para completar o quadrado, precisaremos de um outro quadrado de lado $\dfrac{b}{2a}$. Porém se adicionarmos a parte que falta ao quadrado, também deveremos adicionar a mesma parte ao segundo membro, ou seja, ao retângulo $-\dfrac{c}{a}$. Então:
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| Figura 4 |
Note que chegamos na expressão $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$. Deixando o segundo membro da equação com o mesmo denominador, isto é, tirar o M.M.C obteremos:
\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{ab^2-4a^2c}{4a^3}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\end{matrix}
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, teremos:
\begin{matrix}\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\end{matrix}
\begin{matrix}x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}
Portando, temos que a Fórmula de Bhaskara é dada por
\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}
cujas as raízes são $\begin{matrix}x^{'}=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}x^{''}=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$
Exercícios resolvidos:
1) Calcule as raízes da equação $x^2+2x-3=0$.
Observe que os coeficientes 1, 2 e -3 são, respectivamente, $a, b$ e $c$.
Substituindo, então, esses valores na Fórmula de Bhaskara, iremos obter:
\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}\end{matrix}
Logo, as raízes serão $x^{'}=1$ e $x^{''}=-3$. E o conjunto solução será $S=\{1,-3\}$.
2) Calcule as raízes da equação $2x^2-3x=0$.
Note que nesta equação o coeficiente $c$ é zero o que simplifica muito o processo de resolução. Então, atribuindo os valores dos coeficientes da equação na Fórmula de Bhaskara, teremos:
\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot0}}{2\cdot2}\end{matrix}
As raízes da equação dada serão $x^{'}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ e $x^{''}=0$. E o conjunto solução é dado por $S=\left\{\dfrac{3}{2},0\right\}$.
Uma outra maneira de resolver equações do 2º grau quando o coeficiente $c$ for zero é colocar a incógnita $x$ em evidência. Observe:
$2x^2-3x=0$
$x(2x-3)=0$
Devemos sempre lembrar que o objetivo de resolver equações é encontrar seus respectivos zeros, isto é, o número que, quando atribuído à variável, satisfaz a igualdade. Neste caso, a primeira raiz sai de imediato. Pois basta observar que se a incógnita que está em evidência for zero, então o primeiro membro da equação será zero e valerá a igualdade.
Para encontrar a segunda raiz da equação, trabalharemos somente com a expressão presente dentro dos parênteses, isto é, com $2x-3=0$. Isto nos fornece que a segunda raiz da equação será $\dfrac{3}{2}$.
