Equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau é da forma $\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\end{matrix} \ ; \ a,b,c \in R$ e com $\begin{matrix}a\neq0\end{matrix}$. A equação é chamada de 2º grau pelo fato de ela possuir grau dois numa de suas incógnitas.

Exemplos de equações do 2º grau:

$\begin{matrix}x^2+4x-3=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}2x^2-8=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}x^2+4x=0\end{matrix}$

A maneira mais tradicional de resolver estas equações é utilizando a Fórmula de Bhaskara que iremos deduzir a seguir.

Deduzindo a Fórmula de Bhaskara

Partindo da equação $\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\end{matrix}$, iremos isolar a incógnita $\begin{matrix}x\end{matrix}$. Uma vez feito isso, encontraremos as raízes da equação que, nada mais e nada menos, é a Fórmula de Bhaskara.

Dividiremos então toda a equação pelo coeficiente $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e obteremos o seguinte: \begin{matrix}x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\end{matrix}

O próximo passo é isolar os termos que possui a variável dos termos que não possui a variável. Com isso, temos:

\begin{matrix}x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\end{matrix}

Se compararmos a expressão acima como possíveis áreas de figuras geométricas (desconsideraremos o sinal negativo do segundo membro da equação), obteremos quadrados e retângulos. O termo $x^2$ representa a área de um quadrado enquanto $\dfrac{b}{a}x$, a área de um retângulo. Observe:

Figura 1

Com o intuito de completar o quadrado, isto é, agregar o retângulo de lados $\dfrac{b}{a}$ e $x$ ao quadrado de lado $x$, então dividiremos o retângulo ao meio.

Figura 2

O próximo passo é adicionar as partes do retângulo ao quadrado. Veja:

Figura 3

Observe agora que, para completar o quadrado, precisaremos de um outro quadrado de lado  $\dfrac{b}{2a}$. Porém se adicionarmos a parte que falta ao quadrado, também deveremos adicionar a mesma parte ao segundo membro, ou seja, ao retângulo $-\dfrac{c}{a}$. Então:

Figura 4

Note que chegamos na expressão $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$. Deixando o segundo membro da equação com o mesmo denominador, isto é, tirar o M.M.C obteremos:

\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{ab^2-4a^2c}{4a^3}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\end{matrix}

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, teremos:

\begin{matrix}\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\end{matrix}

\begin{matrix}x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}

Portando, temos que a Fórmula de Bhaskara é dada por

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}
cujas as raízes são $\begin{matrix}x^{'}=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}x^{''}=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$

Exercícios resolvidos:

1) Calcule as raízes da equação $x^2+2x-3=0$.

Observe que os coeficientes 1, 2 e -3 são, respectivamente, $a, b$ e $c$.
Substituindo, então, esses valores na Fórmula de Bhaskara, iremos obter:

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}\end{matrix}

Logo, as raízes serão $x^{'}=1$ e $x^{''}=-3$. E o conjunto solução será $S=\{1,-3\}$.

2) Calcule as raízes da equação $2x^2-3x=0$.

Note que nesta equação o coeficiente $c$ é zero o que simplifica muito o processo de resolução. Então, atribuindo os valores dos coeficientes da equação na Fórmula de Bhaskara, teremos:

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot0}}{2\cdot2}\end{matrix}

As raízes da equação dada serão $x^{'}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ e $x^{''}=0$. E o conjunto solução é dado por $S=\left\{\dfrac{3}{2},0\right\}$.

Uma outra maneira de resolver equações do 2º grau quando o coeficiente $c$ for zero é colocar a incógnita $x$ em evidência. Observe:


$2x^2-3x=0$

$x(2x-3)=0$

Devemos sempre lembrar que o objetivo de resolver equações é encontrar seus respectivos zeros, isto é, o número que, quando atribuído à variável, satisfaz a igualdade. Neste caso, a primeira raiz sai de imediato. Pois basta observar que se a incógnita que está em evidência for zero, então o primeiro membro da equação será zero e valerá a igualdade.
Para encontrar a segunda raiz da equação, trabalharemos somente com a expressão presente dentro dos parênteses, isto é, com $2x-3=0$. Isto nos fornece que a segunda raiz da equação será $\dfrac{3}{2}$.

Círculo trigonométrico: seno, cosseno, tangente e cotangente

Lei de Kepler

As Leis de Kepler tratam dos movimentos dos planetas. São elas:

Lei das Órbitas, Lei das Áreas e a Lei dos Períodos.

1ª Lei de Kepler - Lei das Órbitas:

Na Lei das Órbitas, Kepler diz que os planetas fazem órbitas em formas elípticas em torno do sol. E o sol ocupa um dos focos da elipse.

Observe a figura:

Em que a é o semi-eixo maior (raio médio da órbita) e b é o semi-eixo menor. O ponto A é chamado de Periélio e o ponto B de Afélio.

2ª Lei de Kepler - Lei das Áreas:

Na Lei das Áreas, Kepler conclui que o raio que liga o sol a qualquer planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

3ª Lei de Kepler - Lei dos Períodos:

Na Lei dos Períodos, Kepler descobre que o quociente do quadrado dos períodos de revolução de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é igual a uma constante k, igual a todos os planetas. \begin{matrix}\dfrac{T^2}{a^3}=k\end{matrix}
Logo,\begin{matrix}\ T^2=k\cdot a^3\end{matrix}

Onde T é o período de revolução, a é a distância média do sol e k é uma constante.

O movimento de translação de um planeta em sua órbita elíptica em torno do Sol é variado, sendo acelerado do Afélio para o Periélio e retardado do Periélio para o Afélio.