Intervalos

Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número $\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\end{matrix}$ a um ponto de uma reta $\begin{matrix}r\end{matrix}$. Assim, se convencionarmos uma origem $\begin{matrix}O\end{matrix}$, associando a ela o zero, adotarmos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta orientada:

Sejam $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e $\begin{matrix}b\end{matrix}$ números reais com $\begin{matrix}a < b\end{matrix}$. Os subconjuntos de $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$ a seguir são chamados intervalos.

Intervalos limitados

Intervalo fechado - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x\leq b\}\end{matrix}$


Intervalo aberto - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a,b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a < x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à esquerda - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: [a, b[
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a\leq x < b\}\end{matrix}$


Intervalo fechado à direita - Números reais maiores do que $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e menores do que $\begin{matrix}b\end{matrix}$ ou iguais a $\begin{matrix}b\end{matrix}$.

Intervalo: ]a, b]
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|a< x\leq b\}\end{matrix}$

Intervalos ilimitados

Semi-reta esquerda, fechada, de origem b - Números reais menores do que b ou iguais a b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b]\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x\leq b\}\end{matrix}$


Semi-reta esquerda, aberta, de origem b - Números reais menores do que b.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , b[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in \mathbb{R}|x < b\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, fechada, de origem a - Números reais maiores do que a ou iguais a a.

Intervalo: $\begin{matrix}[a , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x\geq a\}\end{matrix}$


Semi-reta direita, aberta, de origem a - Números reais maiores do que a.

Intervalo: $\begin{matrix}]a , +\infty [\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\{x\in\mathbb{R}|x > a \}\end{matrix}$


Reta numérica - Números reais.

Intervalo: $\begin{matrix}]-\infty , +\infty[\end{matrix}$
Conjunto: $\begin{matrix}\mathbb{R}\end{matrix}$

Conjuntos finitos e conjuntos infinitos

Os conjuntos podem ser classificados conforme a quantidade de elementos distintos que a eles pertencem. Vamos indicar n(A) o número de elementos distintos de um conjunto A qualquer.

Se um conjunto não possuir elementos (n(A)=0), será chamado conjunto vazio.

Notação:

$\begin{matrix}A=\{\hspace{0,1 cm}\}\end{matrix}$ ou $\begin{matrix}A=\emptyset\end{matrix}$

Quando um conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), será denominado conjunto unitário.
De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos.

Conjunto Universo

Chamamos conjunto universo ao conjunto mais amplo ao qual os elementos dos conjuntos que desejamos representar pertençam. Esse conjunto, do qual os conjuntos que desejamos representar são subconjuntos, é simbolizado por U.

Conjunto universo U contém os conjuntos A e B

Conjuntos

Noções elementares

Por intuição, quando falamos de um conjunto, sempre lembramos de um grupo de indivíduos, de objetos ou coisas. Na teoria dos conjuntos a ideia é a mesma.
Um conjunto é constituído por elementos, neste caso, os números.

Notação:

A, B, C, ... indicam o conjunto
a, b, c, ... indicam os elementos

E quanto à ideia de constituir um conjunto, sempre associamos o conceito de pertencer, isto é, o elemento pode pertencer ao conjunto ou não.

Notação:


$\begin{matrix}\in\end{matrix}$ pertence

$\begin{matrix}\notin\end{matrix}$ não pertence

Representação de conjuntos

Um conjunto pode ser representado de três maneiras distintas.
Para exemplo, consideraremos o conjunto D dos divisores positivos de 30.

1. Pela enumeração de seus elementos:

D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

2. Pela explicitação da propriedade característica de seus elementos:

D = {d | d é divisor positivo de 30}

3. Por meio de um diagrama:

Equações Diferenciais Ordinárias Homogêneas

Definição: Seja uma equação diferencial da forma $\begin{matrix}f(x,y)dy+g(x,y)dx=0\end{matrix}$ (ou da forma $\begin{matrix}f(x,y)\frac{dy}{dx}+g(x,y)=0\end{matrix}$). Será considerada homogênea se as funções $f(x,y)$ e $g(x,y)$ possuírem o mesmo grau.

Exemplos:

1) Verifique se as seguintes equações diferenciais são homogêneas:

a) $y^{'}=\dfrac{y+x}{x}$                                         b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}$

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}$                            d) $-ydx+\left(x+\sqrt{xy}\right)dy=0$


Soluções:

a) A equação diferencial $y^{'}=\frac{y+x}{x}$ também pode ser escrita da forma $\frac{dy}{dx}=\frac{y+x}{x}$. Então, temos que:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+x}{x}\rightarrow xdy-(y+x)dx=0$

onde $f(x,y)=x$ e $g(x,y)=y+x$.

Observe agora que o grau de $f(x,y)$ é 1, pois $x$ possui grau 1. Observe também que o grau de $g(x,y)$ também é 1, pois em $y+x$, $y$ e $x$ possuem grau 1. Como o grau de $f$ é o mesmo que de $g$, então, concluímos que a equação é homogênea.

b) $y^{'}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x}\rightarrow xdy-y^2dx=0$

Observe que o grau de $f$ é 1 enquanto que o grau de $g$ é 2. Como o grau de $f$ não é o mesmo que de $g$, então a equação é considerada não homogênea.

c) $y^{'}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2yxe^{\frac{x}{y}}}{x^2+y^2sen\frac{x}{y}}\rightarrow \left(x^2+y^2sen\frac{x}{y}\right)dy-\left(2yxe^{\frac{x}{y}}\right)dx=0$

Note que o grau de $f$ é 2, pois $x$ e $y$ possuem grau 2. Quanto a $g$ devemos levar em consideração a soma dos expoentes de $x$ e de $y$ pois estão representando um produto (favor não confundir com a propriedade do produto de potências de mesma base. Aqui isto serve apenas como um "macete"). Como $f$ e $g$ possuem o mesmo grau, então a equação é homogênea.

d) É homogênea. Pois o grau de $f$ é o mesmo que de $g$.

Equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau é da forma $\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\end{matrix} \ ; \ a,b,c \in R$ e com $\begin{matrix}a\neq0\end{matrix}$. A equação é chamada de 2º grau pelo fato de ela possuir grau dois numa de suas incógnitas.

Exemplos de equações do 2º grau:

$\begin{matrix}x^2+4x-3=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}2x^2-8=0\end{matrix}$

$\begin{matrix}x^2+4x=0\end{matrix}$

A maneira mais tradicional de resolver estas equações é utilizando a Fórmula de Bhaskara que iremos deduzir a seguir.

Deduzindo a Fórmula de Bhaskara

Partindo da equação $\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\end{matrix}$, iremos isolar a incógnita $\begin{matrix}x\end{matrix}$. Uma vez feito isso, encontraremos as raízes da equação que, nada mais e nada menos, é a Fórmula de Bhaskara.

Dividiremos então toda a equação pelo coeficiente $\begin{matrix}a\end{matrix}$ e obteremos o seguinte: \begin{matrix}x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\end{matrix}

O próximo passo é isolar os termos que possui a variável dos termos que não possui a variável. Com isso, temos:

\begin{matrix}x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\end{matrix}

Se compararmos a expressão acima como possíveis áreas de figuras geométricas (desconsideraremos o sinal negativo do segundo membro da equação), obteremos quadrados e retângulos. O termo $x^2$ representa a área de um quadrado enquanto $\dfrac{b}{a}x$, a área de um retângulo. Observe:

Figura 1

Com o intuito de completar o quadrado, isto é, agregar o retângulo de lados $\dfrac{b}{a}$ e $x$ ao quadrado de lado $x$, então dividiremos o retângulo ao meio.

Figura 2

O próximo passo é adicionar as partes do retângulo ao quadrado. Veja:

Figura 3

Observe agora que, para completar o quadrado, precisaremos de um outro quadrado de lado  $\dfrac{b}{2a}$. Porém se adicionarmos a parte que falta ao quadrado, também deveremos adicionar a mesma parte ao segundo membro, ou seja, ao retângulo $-\dfrac{c}{a}$. Então:

Figura 4

Note que chegamos na expressão $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$. Deixando o segundo membro da equação com o mesmo denominador, isto é, tirar o M.M.C obteremos:

\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{ab^2-4a^2c}{4a^3}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\end{matrix}

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, teremos:

\begin{matrix}\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\end{matrix}

\begin{matrix}x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}

Portando, temos que a Fórmula de Bhaskara é dada por

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}
cujas as raízes são $\begin{matrix}x^{'}=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$ e $\begin{matrix}x^{''}=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{matrix}$

Exercícios resolvidos:

1) Calcule as raízes da equação $x^2+2x-3=0$.

Observe que os coeficientes 1, 2 e -3 são, respectivamente, $a, b$ e $c$.
Substituindo, então, esses valores na Fórmula de Bhaskara, iremos obter:

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}\end{matrix}

Logo, as raízes serão $x^{'}=1$ e $x^{''}=-3$. E o conjunto solução será $S=\{1,-3\}$.

2) Calcule as raízes da equação $2x^2-3x=0$.

Note que nesta equação o coeficiente $c$ é zero o que simplifica muito o processo de resolução. Então, atribuindo os valores dos coeficientes da equação na Fórmula de Bhaskara, teremos:

\begin{matrix}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot0}}{2\cdot2}\end{matrix}

As raízes da equação dada serão $x^{'}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ e $x^{''}=0$. E o conjunto solução é dado por $S=\left\{\dfrac{3}{2},0\right\}$.

Uma outra maneira de resolver equações do 2º grau quando o coeficiente $c$ for zero é colocar a incógnita $x$ em evidência. Observe:


$2x^2-3x=0$

$x(2x-3)=0$

Devemos sempre lembrar que o objetivo de resolver equações é encontrar seus respectivos zeros, isto é, o número que, quando atribuído à variável, satisfaz a igualdade. Neste caso, a primeira raiz sai de imediato. Pois basta observar que se a incógnita que está em evidência for zero, então o primeiro membro da equação será zero e valerá a igualdade.
Para encontrar a segunda raiz da equação, trabalharemos somente com a expressão presente dentro dos parênteses, isto é, com $2x-3=0$. Isto nos fornece que a segunda raiz da equação será $\dfrac{3}{2}$.

Círculo trigonométrico: seno, cosseno, tangente e cotangente

Lei de Kepler

As Leis de Kepler tratam dos movimentos dos planetas. São elas:

Lei das Órbitas, Lei das Áreas e a Lei dos Períodos.

1ª Lei de Kepler - Lei das Órbitas:

Na Lei das Órbitas, Kepler diz que os planetas fazem órbitas em formas elípticas em torno do sol. E o sol ocupa um dos focos da elipse.

Observe a figura:

Em que a é o semi-eixo maior (raio médio da órbita) e b é o semi-eixo menor. O ponto A é chamado de Periélio e o ponto B de Afélio.

2ª Lei de Kepler - Lei das Áreas:

Na Lei das Áreas, Kepler conclui que o raio que liga o sol a qualquer planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

3ª Lei de Kepler - Lei dos Períodos:

Na Lei dos Períodos, Kepler descobre que o quociente do quadrado dos períodos de revolução de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é igual a uma constante k, igual a todos os planetas. \begin{matrix}\dfrac{T^2}{a^3}=k\end{matrix}
Logo,\begin{matrix}\ T^2=k\cdot a^3\end{matrix}

Onde T é o período de revolução, a é a distância média do sol e k é uma constante.

O movimento de translação de um planeta em sua órbita elíptica em torno do Sol é variado, sendo acelerado do Afélio para o Periélio e retardado do Periélio para o Afélio.